Deep Dive über die logische Ungenauigkeit der Idee des “Gemeinwohls”.

Es gibt einen Satz, den du jeden Abend hörst, im Fernsehen, bei Kundgebungen, in den Kommentaren unter jeder Nachricht. Er wechselt die Kleidung, aber die Substanz bleibt dieselbe: “das will das Volk”, “das ist gut für das Land”, “die Wähler haben gesprochen”, “man muss dem Allgemeininteresse dienen”. Es ist die Zauberformel, mit der jede Entscheidung gerechtfertigt wird, von einer Steuerreform bis zu einem Krieg. Und sie funktioniert, weil sie selbstverständlich klingt: da draußen gäbe es ein Volk, mit einem eigenen Willen und einem eigenen Wohl, und die Aufgabe der Regierenden wäre es, ihm zuzuhören und ihm zu dienen.

Dieser Artikel nimmt diesen Satz ernst. Nicht mit Empörung — davon kursiert bereits zu viel — sondern mit derselben Kälte, mit der ein Ingenieur prüft, ob eine Brücke hält. Die Frage ist technisch, aber es geht uns alle an: existiert dieses Ding, das “Wohl des Volkes”, wirklich? Existiert es als reales, kohärentes Objekt, das man erkennen und dem man dienen kann? Oder ist es ein Wort, das wir der Bequemlichkeit halber benutzen, und darunter ist nichts?

Spoiler: darunter ist nichts. Und das sagt keine politische Meinung. Das sagt ein Theorem, bewiesen 1951, das seinem Autor den Nobelpreis einbrachte. Das Faszinierende daran ist, dass man dafür keine Mathematik braucht. Man braucht ein Abendessen unter Freunden.

Das Labor: drei Freunde und ein Abendessen

Anna, Lukas und Markus müssen entscheiden, wo sie essen gehen. Drei Möglichkeiten: die Pizzeria, der Japaner, das Gasthaus. Niemand trickst, niemand handelt in böser Absicht, und jeder hat glasklare Vorstellungen.

Anna bevorzugt die Pizzeria, dann den Japaner, und das Gasthaus zuletzt. Lukas bevorzugt den Japaner, dann das Gasthaus, und die Pizzeria zuletzt. Markus bevorzugt das Gasthaus, dann die Pizzeria, und den Japaner zuletzt. Drei völlig vernünftige Menschen, jeder mit seiner eigenen Rangfolge im Kopf.

Jetzt machen wir das Demokratischste der Welt: wir stimmen nach Mehrheit ab und vergleichen die Lokale paarweise.

Pizzeria gegen Japaner? Anna stimmt für die Pizzeria, Markus stimmt für die Pizzeria. Die Pizzeria gewinnt, zwei zu eins. Japaner gegen Gasthaus? Anna stimmt für den Japaner, Lukas stimmt für den Japaner. Der Japaner gewinnt, zwei zu eins. Halten wir kurz inne: die Gruppe bevorzugt die Pizzeria gegenüber dem Japaner, und den Japaner gegenüber dem Gasthaus. Also müsste die Gruppe rein logisch die Pizzeria dem Gasthaus vorziehen. Es ist dieselbe Überlegung wie bei “ich bin größer als du, du bist größer als er, also bin ich größer als er”. Darüber lässt sich nicht streiten.

Prüfen wir nach. Gasthaus gegen Pizzeria? Lukas stimmt für das Gasthaus, Markus stimmt für das Gasthaus. Das Gasthaus gewinnt, zwei zu eins.

Lies das noch einmal. Die Gruppe bevorzugt die Pizzeria gegenüber dem Japaner, den Japaner gegenüber dem Gasthaus, und das Gasthaus gegenüber der Pizzeria. Es dreht sich im Kreis, endlos, wie ein Hund, der sich in den eigenen Schwanz beißt. Es ist kein Unentschieden und keine Unentschlossenheit: es ist ein Widerspruch. Jeder der drei Freunde hat kohärente Präferenzen; die “Gruppe” nicht. Die Gruppe als Subjekt, das etwas will, ist schlicht nicht vorhanden.

Dieser Streich heißt Condorcet-Paradox, nach dem französischen Marquis, der es Ende des achtzehnten Jahrhunderts bemerkte. Anderthalb Jahrhunderte lang galt es als Salonkuriosität. Das war es nicht: es war der erste Riss in einer Mauer, die, wie wir sehen werden, kein Fundament hat.

Und die praktische Folge ist bereits gewaltig. Wenn die Gruppe sich selbst widerspricht, wer entscheidet dann wirklich, wo gegessen wird? Es entscheidet, wer die Reihenfolge der Fragen wählt. Frage ich zuerst “Pizzeria oder Japaner?” und lasse dann den Sieger gegen das Gasthaus antreten, gewinnt das Gasthaus. Ändere ich die Reihenfolge der Vergleiche, gewinnt ein anderes Lokal. Dieselben Menschen, dieselben Vorlieben, unterschiedliche Ergebnisse. Nicht die Gruppe entscheidet: das Verfahren entscheidet.

Behalte das im Kopf, denn was bei einem Abendessen unter drei Freunden passiert, passiert identisch in einem Land mit sechzig Millionen Menschen.

Methode eins: “wer die meisten Stimmen holt, gewinnt”

Erhöhen wir die Zahl. Zehn Freunde, und diesmal schreibt jeder einen einzigen Namen auf einen Zettel: das meistgewählte Lokal gewinnt. Es ist das weltweit verbreitetste System zur Wahl von Parlamenten — im Englischen first past the post, “Erster im Ziel”: man muss nicht über 50% kommen, eine Stimme mehr als die anderen genügt.

Sechs dieser zehn Freunde haben Lust auf Italienisch. Aber drei schreiben “Pizzeria” und drei schreiben “Gasthaus”. Die anderen vier schreiben “Japaner”. Wer gewinnt? Der Japaner, mit vier von zehn Stimmen. Sechs von zehn Personen wollten italienisch essen und landen bei rohem Fisch, weil sie sich auf zwei ähnliche Optionen aufgeteilt haben.

Das nennt man Spoiler-Effekt, und in der Politik ist er keine Kuriosität: er verschiebt Geschichte. Bei der US-Präsidentschaftswahl 2000 sammelte der Umweltschützer Ralph Nader in Florida rund 97.000 Stimmen, fast alle dem Demokraten Al Gore entzogen, der bei diesen Themen der nächstliegende Kandidat war. Bush gewann den Bundesstaat — und mit ihm das Weiße Haus — mit 537 Stimmen. Eine Handvoll Zettel unter sechs Millionen. Der Kandidat “zu viel” gewann nichts, aber er entschied, wer die führende Weltmacht acht Jahre lang regieren würde.

Ralph Nader spricht an einem Rednerpult mit Mikrofon, aufgenommen in den Jahren seiner Präsidentschaftskandidaturen

Es kommt noch mehr, und dieser Teil betrifft uns alle. Wähler sind nicht dumm: nachdem sie den Spoiler-Effekt zwei- oder dreimal in Aktion gesehen haben, lernen sie. Und sie beginnen mit dem, was wir taktisches Wählen nennen: ich lasse den fallen, den ich wirklich bevorzuge, weil er “ohnehin nicht gewinnt”, und wähle das kleinere Übel unter den beiden, die es schaffen können. Über Jahrzehnte wiederholt, presst dieses Verhalten das System auf nur zwei große Parteien zusammen — eine Regelmäßigkeit, bekannt als Duvergers Gesetz. Nicht weil die Menschen es lieben, nur zwei Optionen zu haben, sondern weil die Methode jeden bestraft, der versucht, eine dritte anzubieten.

Halten wir kurz inne bei dem, was das bedeutet. Das System misst nicht bloß schlecht, was wir wollen: es verändert, was wir zu fordern bereit sind. Optionen sterben, bevor sie überhaupt zur Abstimmung kommen.

Methode zwei: “bringen wir sie in eine Reihenfolge”

Jemand sagt zu Recht: das Problem ist, dass ihr uns nur einen Namen schreiben lasst. Machen wir es anders — jeder bringt die Lokale in eine Rangfolge: erster, zweiter, dritter. Das ist die Vorzugswahl, auf Englisch ranked choice oder Instant-Runoff, und in manchen Ländern wird sie tatsächlich verwendet.

Die Auszählung ist einfach. Man schaut auf die ersten Plätze. Übersteigt niemand die 50%, wird der Letztplatzierte gestrichen, und die Stimmen derer, die ihn oben hatten, gehen automatisch an deren Zweitpräferenz. Das wiederholt man, bis jemand die Mehrheit erreicht. Der Vorteil liegt auf der Hand: du kannst mit dem Herzen den wählen, den du wirklich bevorzugst, denn wenn er es nicht schafft, ist deine Stimme nicht verloren, sie zieht zu deiner zweiten Wahl um. Auf Wiedersehen taktisches Wählen, auf Wiedersehen Spoiler.

Schema der Ergebnisse einer Wahl mit Vorzugswahl: fünf Kandidaten und vier Runden, in denen jeweils der Letztplatzierte ausscheidet und seine Prozente auf die übrigen verteilt werden

Es lohnt sich, das Schema oben aufmerksam zu lesen, denn es erzählt mehr als tausend Erklärungen. Kandidat C liegt in jeder einzelnen Runde vorn: 35%, dann 37%, dann 39%. Er wirkt wie der sichere Sieger. Doch als er allein gegen A übrig bleibt, sammeln sich die durch die vorherigen Eliminierungen frei gewordenen Stimmen fast vollständig beim Gegner, und C verliert 49 zu 51. Wer von Anfang bis Ende von den meisten Menschen bevorzugt wurde, geht mit leeren Händen nach Hause.

Darüber lässt sich noch streiten: es hängt davon ab, was du unter “gewinnen” verstehst — für viele der Erste zu sein oder für fast alle akzeptabel. Das ist eine legitime Entscheidung. Der eigentliche Fehler dieser Methode ist jedoch ein anderer, und er ist überhaupt nicht diskutabel: mehr Stimmen zu bekommen kann dich verlieren lassen.

Das klingt wie ein Druckfehler, ist es aber nicht. Der Grund liegt in diesem Eliminierungsmechanismus. Steigt ein Kandidat in der Gunst einer Wählergruppe, ändert sich, wer zuerst ausscheidet. Und ändert sich, wer zuerst ausscheidet, ändert sich auch, wohin die übertragenen Stimmen wandern — manchmal allesamt gegen ihn. Zuspruch zu gewinnen hat ihm geschadet.

Das ist keine Tafelhypothese. Es geschah 2009 in Burlington, einer Kleinstadt in Vermont: es ist der Lehrbuchfall. Der Kandidat, der das Bürgermeisteramt gewann, hätte verloren, wenn eine bestimmte Gruppe gegnerischer Wähler ihn statt ganz unten weiter oben platziert hätte. Mehr Unterstützung, Niederlage.

Ein System, in dem Beliebtheit dir schaden kann, fotografiert niemandes Willen. Es führt ein Verfahren aus, dessen Ergebnisse niemand beim Wählen im Kopf hat.

Methode drei: “verteilen wir Punkte”

Letzter Versuch, der eleganteste: statt zu eliminieren, vergeben wir Punkte. Jede Person bringt die Lokale in eine Reihenfolge, und Punkte werden verteilt — bei drei Optionen 2 Punkte für den ersten, 1 für den zweiten, 0 für den dritten. Man addiert, und wer die höchste Summe hat, gewinnt. Das nennt sich Borda-Zählung, und sie belohnt denjenigen, den alle ein bisschen mögen, statt den, den wenige sehr mögen. Sie wirkt als die gerechteste der drei.

Schema der Borda-Methode: vier individuelle Rangfolgen mit je sechs Optionen fließen in eine einzige Berechnung ein, die die Positionspunkte summiert und eine neu geordnete Endrangfolge erzeugt

Das Schema oben zeigt den Mechanismus in seiner allgemeinen Form: links die Rangfolgen von vier verschiedenen Personen, jede mit ihrer eigenen Ordnung; in der Mitte die Summe der Punkte, die jede Option je nach ihrer Position in jeder Rangfolge ansammelt; unten das Endergebnis, eine einzige Rangliste, die keiner der vier im Kopf hatte. Es ist genau jene Operation, die wir “kollektiven Willen” nennen: eine Rangfolge, die niemandem gehört, erzeugt durch das Aufsummieren aller.

Sie hat einen Fehler, der ihr Fundament einreißt, und man versteht ihn am besten am Abendessen-Beispiel. Die Gruppe wählt zwischen Pizzeria und Japaner, und die Pizzeria liegt vorn. In diesem Moment erwähnt der Kellner, dass es auch den Hackbraten des Hauses gibt. Niemand, nicht einmal versehentlich, wird jemals den Hackbraten bestellen: alle setzen ihn auf den letzten Platz. Und doch, weil es nun drei Optionen sind und sich die Punkte neu verteilen, kann die Summe kippen und den Japaner gewinnen lassen.

Lies auch das noch einmal, denn es ist der Kern der Sache: das Hinzufügen einer Option, die niemand will, hat die Wahl zwischen den beiden verändert, die alle wollten. Es ist, als würde die Tatsache, dass im Kino auch ein Film läuft, den du nie ansehen würdest, deine Meinung darüber ändern, welchen der anderen beiden du schaust. Es ergibt keinen Sinn, und doch lässt die Methode es zu.

Und sie öffnet eine gefährliche Tür: wer entscheidet, welche Optionen auf der Liste landen, kann das Ergebnis lenken, ohne eine einzige Stimme anzurühren. In der Politik heißt das: die Macht aufzustellen ist so viel wert wie die Macht zu wählen — manchmal mehr.

Die Wendung: es liegt nicht an den Methoden

An dieser Stelle ist die natürliche Reaktion: gut, wir haben drei mittelmäßige Systeme gewählt. Früher oder später erfindet jemand ein gerechtes.

1951 beendete ein junger amerikanischer Ökonom, Kenneth Arrow, diese Hoffnung für immer. Und sein Ausgangspunkt war nicht die Wahl: es war genau die Frage, von der auch wir ausgegangen sind, nämlich ob sich das Wohl einer Gemeinschaft ausgehend von dem der Einzelnen überhaupt sinnvoll definieren lässt.

Arrow machte etwas Kluges. Statt Methoden einzeln durchzuprobieren, fragte er: welches sind die Mindestanforderungen, die wir an jede Methode stellen würden, um sie als akzeptabel anzusehen? Und er zählte vier auf, so vernünftig, dass niemand sie bestreiten würde:

Erstens muss sie immer funktionieren, was auch immer die Leute bevorzugen: man kann nicht bestimmte Meinungen verbieten, damit die Rechnung aufgeht. Zweitens: wenn wirklich alle A gegenüber B bevorzugen, muss das kollektive Ergebnis A gegenüber B bevorzugen — das absolute Minimum. Drittens darf die Wahl der Gruppe zwischen zwei Optionen nicht von einer dritten abhängen, die nichts damit zu tun hat (eben dem Hackbraten). Viertens darf es keine einzelne Person geben, deren Präferenz automatisch zu der aller wird, unter Missachtung der übrigen: sonst sprechen wir von einem Diktator, nicht von einer Methode.

Vier grundehrliche Forderungen. Arrow bewies, dass bei mindestens drei Optionen im Spiel keine Methode sie alle zugleich erfüllen kann. Nicht “keine der bisher erfundenen”: keine mögliche, heute und in tausend Jahren. Der einzige Weg, die ersten drei zu respektieren, besteht darin, die vierte zu verletzen — also das Wohl aller mit dem Willen eines Einzigen gleichzusetzen.

Wir suchen nicht schlecht. Wir suchen ein Dreieck mit vier Seiten.

Und außerdem, seien wir ehrlich, lügen wir alle

Es gibt eine letzte Schicht, und sie ist vielleicht die menschlichste. Bisher haben wir vorausgesetzt, dass jeder aufrichtig angibt, was er bevorzugt. Aber das tun wir nicht. Das taktische Wählen von vorhin ist genau das: wir erklären eine Präferenz, die nicht unsere ist, weil es sich lohnt.

In den 1970er Jahren bewiesen zwei Wissenschaftler, Gibbard und Satterthwaite, dass dies weder ein nationaler Makel noch eine moralische Schwäche ist: jede vernünftige Methode mit mindestens drei Optionen ist manipulierbar. Es gibt immer eine Situation, in der es dir ein besseres Ergebnis bringt, über deine Präferenzen zu lügen, als die Wahrheit zu sagen.

Fügen wir die Teile zusammen, denn das Gesamtbild ist erbarmungslos. Auf der einen Seite haben wir eine Zählregel, die nachweislich mathematisch die Präferenzen verzerrt. Auf der anderen haben wir Eingangsdaten, die aus rationalem Kalkül teilweise falsch sind. Wir nehmen verfälschte Zahlen, schicken sie durch eine untreue Methode, und der herauskommenden Zahl geben wir einen feierlichen Namen: der Wille des Volkes.

Was wir schließen können (und was nicht)

Hier braucht es Ehrlichkeit, denn die Strenge ist der ganze Wert dieser Überlegung. Nichts von dem, was wir gesehen haben, beweist, dass die Demokratie nutzlos ist, und erst recht nicht, dass ein Alleinherrscher besser entscheidet. Im Gegenteil: der einzige mathematische Ausweg aus Arrows Theorem ist genau die Diktatur, und wer sie erlebt hat, weiß, dass das Mittel unendlich schlimmer ist als das Übel. Die Wahl bleibt die am wenigsten schlechte Art, die wir gefunden haben, um gemeinsam zu entscheiden, ohne aufeinander zu schießen.

Was uns diese Ergebnisse nehmen, ist nicht die Demokratie. Es ist ein Satz.

Der Satz lautet: “das ist es, was das Volk will, das ist sein Wohl”. Wörtlich genommen hält er nicht stand. Da draußen gibt es kein Volk mit einem einzigen Kopf, kohärenten Vorlieben und einem definierten Wohl, das darauf wartet, entdeckt zu werden. Es gibt Millionen Menschen mit unterschiedlichen und oft unvereinbaren Zielen — die sind real — und es gibt ein Auszählverfahren, das wir wählen und das ein Ergebnis produziert. Ändere das Verfahren, bei identischen Menschen und identischen Wünschen, und es ändert sich, was als “das Beste für alle” verkündet wird. Das Ergebnis ist keine Fotografie: es ist zum Teil ein Produkt des Instruments, mit dem wir sie aufgenommen haben.

Und hier trifft die kühle Analyse auf einen sehr alten Verdacht, teuer all jenen, die kollektiven Abstraktionen misstrauen: ein Wohl haben Menschen, nicht Völker. “Das nationale Interesse”, “was das Land verlangt”, “das Gemeinwohl” sind rhetorische Abkürzungen, keine existierenden Objekte. Und jedes Mal, wenn jemand sie ausspricht, vollführt er einen kleinen Zaubertrick: er nimmt die ungeordnete Summe von Millionen verschiedener Wünsche, verwandelt sie in ein imaginäres Wesen mit einer Stimme, und ernennt sich dann zum offiziellen Dolmetscher dieser Stimme. Arrows Theorem tut nichts anderes, als das Tuch zu lüften und zu zeigen, dass im Zylinder kein Kaninchen sitzt.

Was, wenn man darüber nachdenkt, eher eine Verteidigung des Individuums ist als eine Kritik am System. Denn die Formel “ich tue es zu deinem Besten, es ist das Wohl aller” ist historisch das Brecheisen, mit dem jede Zwangsmaßnahme gerechtfertigt wurde. Zu wissen, dass dieses “Wohl aller” kein messbares Objekt ist, sondern ein Artefakt des Verfahrens, ist ein ausgezeichneter Antikörper. Nicht zufällig funktionieren jene Systeme gut und gewinnen an Vertrauen, die gar nicht erst beanspruchen, ein kollektives Wohl zu berechnen: sie beschränken sich darauf, klare und überprüfbare Regeln festzulegen, denen jeder für sich beitritt oder nicht, ohne dass jemand im Namen aller spricht. Sie sind nicht perfekt. Sie sind nur ehrlich darüber, was sie sind: Verfahren, keine Orakel.

Fazit

Arrows Theorem ist kein Pamphlet gegen die Demokratie. Es ist etwas Unbequemeres: ein Beweis. Es sagt uns, dass der meistgebrauchte Satz unseres öffentlichen Diskurses — “das ist das Wohl des Volkes” — nichts hinter sich hat, und zwar nicht wegen eines Mangels, den wir mit einer Wahlrechtsreform beheben könnten, sondern wegen einer Grenze der Logik selbst.

Es bleiben die Güter der einzelnen Menschen, die existieren und zählen. Es bleibt das Verfahren, mit dem wir entscheiden, das nützlich ist und das wir wählen. Dazwischen, wo man uns beigebracht hat, einen kollektiven Willen zu erahnen, dem man zuhören müsse, ist nichts: nur eine Zahl, erzeugt von einer Methode, gekleidet als Mandat. Wenn das nächste Mal jemand gewinnt und erklärt, er repräsentiere, was alle wollten, wirst du die Werkzeuge haben, um genau zu wissen, was er da tut. Es gibt die Menschen, und es gibt ihre Güter. Das Volk als Subjekt, das etwas will und dem etwas nützt, gibt es nicht.

Quellen: