Análisis en profundidad sobre la inexactitud lógica de la idea de “bien común”.

Hay una frase que escuchas cada noche, en la televisión, en los mítines, en los comentarios bajo cualquier noticia. Cambia de ropa pero la sustancia es siempre la misma: “es lo que quiere la gente”, “esto es bueno para el país”, “los votantes han hablado”, “hay que servir al interés general”. Es la fórmula mágica con la que se justifica cualquier decisión, desde una reforma fiscal hasta una guerra. Y funciona, porque suena obvia: ahí fuera habría un pueblo, con su voluntad y su bien, y la tarea de quien gobierna sería escucharlo y servirlo.

Este artículo se toma esa frase en serio. No con indignación — de indignación ya circula demasiada — sino con la misma frialdad con la que un ingeniero comprueba si un puente se sostiene. La pregunta es técnica pero lo que está en juego nos incumbe a todos: ¿existe realmente esa cosa, el “bien del pueblo”? ¿Existe como objeto real, coherente, que se pueda conocer y servir? ¿O es una palabra que usamos por comodidad, y debajo no hay nada?

Aviso: debajo no hay nada. Y no lo dice una opinión política. Lo dice un teorema, demostrado en 1951, que le valió el Nobel a quien lo escribió. Lo fascinante es que para entenderlo no hacen falta las matemáticas. Hace falta una cena entre amigos.

El laboratorio: tres amigos y una cena

Ana, Luis y Marcos tienen que decidir dónde comer. Tres sitios: la pizzería, el japonés, la taberna. Nadie hace trampa, nadie actúa de mala fe, y cada uno tiene las ideas clarísimas.

Ana prefiere la pizzería, luego el japonés, y la taberna en último lugar. Luis prefiere el japonés, luego la taberna, y la pizzería en último lugar. Marcos prefiere la taberna, luego la pizzería, y el japonés en último lugar. Tres personas perfectamente razonables, cada una con su clasificación en la cabeza.

Ahora hagamos lo más democrático del mundo: votemos por mayoría, comparando los sitios de dos en dos.

¿Pizzería contra japonés? Ana vota pizzería, Marcos vota pizzería. Gana la pizzería, dos a uno. ¿Japonés contra taberna? Ana vota japonés, Luis vota japonés. Gana el japonés, dos a uno. Detengámonos un momento: el grupo prefiere la pizzería al japonés, y el japonés a la taberna. Por lo tanto, por pura lógica, el grupo debería preferir la pizzería a la taberna. Es el mismo razonamiento que usas cuando dices “soy más alto que tú, tú eres más alto que él, luego soy más alto que él”. No es opinable.

Comprobemos. ¿Taberna contra pizzería? Luis vota taberna, Marcos vota taberna. Gana la taberna, dos a uno.

Vuelve a leerlo. El grupo prefiere la pizzería al japonés, el japonés a la taberna, y la taberna a la pizzería. Gira en círculo, infinitamente, como un perro que se muerde la cola. No es un empate ni es indecisión: es una contradicción. Cada uno de los tres amigos tiene preferencias coherentes; el “grupo” no. El grupo, como sujeto que quiere algo, sencillamente no está ahí.

Esta jugarreta se llama paradoja de Condorcet, por el marqués francés que la advirtió a finales del siglo XVIII. Durante siglo y medio se consideró una curiosidad de salón. No lo era: era la primera grieta en un muro que, como veremos, no tiene cimientos.

Y la consecuencia práctica ya es enorme. Si el grupo se contradice, ¿quién decide realmente dónde se cena? Decide quien elige el orden de las preguntas. Si pregunto primero “¿pizzería o japonés?” y luego enfrento al ganador con la taberna, gana la taberna. Si cambio el orden de las comparaciones, gana otro sitio. Las mismas personas, los mismos gustos, resultados distintos. No decide el grupo: decide el procedimiento.

Tenlo presente, porque lo que ocurre en una cena entre tres amigos ocurre idéntico en un país de sesenta millones de personas.

Método uno: “gana quien saca más votos”

Subamos el número. Diez amigos, y esta vez cada uno escribe un solo nombre en un papelito: gana el sitio más votado. Es el sistema más extendido del mundo para elegir parlamentos — los anglosajones lo llaman first past the post, “primero en la meta”: no hace falta superar el 50%, basta un voto más que los demás.

Seis de estos diez amigos tienen ganas de italiano. Pero tres escriben “pizzería” y tres escriben “taberna”. Los otros cuatro escriben “japonés”. ¿Quién gana? El japonés, con cuatro votos de diez. Seis personas de diez querían comer italiano y acaban comiendo pescado crudo, porque se dividieron entre dos opciones parecidas.

Esto se llama efecto spoiler, y en política no es una curiosidad: mueve la historia. En las presidenciales estadounidenses de 2000, en Florida, el ecologista Ralph Nader reunió unos 97.000 votos, casi todos restados al demócrata Al Gore, que en esos temas era el candidato más cercano. Bush ganó el estado — y con él la Casa Blanca — por 537 votos. Un puñado de papeletas entre seis millones. El candidato “de más” no ganó nada, pero decidió quién gobernaría la primera potencia mundial durante ocho años.

Ralph Nader hablando desde un atril con micrófono, en una imagen de los años de sus candidaturas presidenciales

Hay más, y es la parte que nos afecta a todos. Los votantes no son tontos: después de ver el efecto spoiler en acción dos o tres veces, aprenden. Y empiezan a practicar lo que llamamos voto útil: renuncio a quien de verdad prefiero, porque “total, no va a ganar”, y voto al mal menor entre los dos que pueden lograrlo. Repetido durante décadas, este comportamiento aplasta el sistema sobre dos únicos grandes partidos — una regularidad conocida como ley de Duverger. No porque a la gente le encante tener solo dos opciones, sino porque el método castiga a cualquiera que intente ofrecer una tercera.

Detengámonos un segundo en lo que eso significa. El sistema no se limita a medir mal lo que queremos: modifica lo que estamos dispuestos a pedir. Las opciones mueren antes incluso de ser sometidas a votación.

Método dos: “pongámoslos en orden”

Alguien, con razón, dice: el problema es que nos hacéis escribir un solo nombre. Hagamos esto — cada uno ordena los sitios: primero, segundo, tercero. Es el voto alternativo, en inglés ranked choice, y en algunos países se usa de verdad.

El recuento es simple. Se miran los primeros puestos. Si nadie supera el 50%, se elimina al último clasificado, y los votos de quienes lo habían puesto arriba pasan automáticamente a su segunda preferencia. Se repite hasta que alguien alcanza la mayoría. La ventaja es evidente: puedes votar con el corazón a quien de verdad prefieres, porque si no lo consigue tu voto no se pierde, se muda a tu segunda opción. Adiós voto útil, adiós spoiler.

Esquema de los resultados de una elección con voto alternativo: cinco candidatos y cuatro rondas, en las que cada ronda elimina al último clasificado y redistribuye sus porcentajes entre los demás

Vale la pena leer el esquema de arriba con atención, porque cuenta más que mil explicaciones. El candidato C va en cabeza en cada una de las rondas: 35%, luego 37%, luego 39%. Parece el ganador anunciado. Pero cuando se queda solo frente a A, los votos liberados por las eliminaciones anteriores se acumulan casi todos en su rival, y C pierde 49 a 51. Quien fue el preferido por el mayor número de personas de principio a fin se va a casa con las manos vacías.

Sobre esto todavía se puede discutir: depende de qué consideres “ganar”, si ser el primero para muchos o el aceptable para casi todos. Es una elección legítima. Pero el defecto real de este método es otro, y no es discutible en absoluto: sacar más votos puede hacerte perder.

Suena a errata, pero no lo es. La razón está en ese mecanismo de eliminación. Si un candidato sube en las preferencias de un grupo de votantes, cambia quién es eliminado primero. Y si cambia quién es eliminado primero, cambia también dónde acaban los votos que se transfieren — a veces todos en su contra. Ganar apoyos lo ha perjudicado.

No es una hipótesis de pizarra. Ocurrió en Burlington, una pequeña ciudad de Vermont, en 2009: es el caso que se estudia en los manuales. El candidato que ganó la alcaldía habría perdido si un cierto grupo de votantes rivales, en vez de ponerlo al final, lo hubiera colocado más arriba. Más apoyo, derrota.

Un sistema en el que la popularidad puede perjudicarte no está fotografiando la voluntad de nadie. Está ejecutando un procedimiento cuyos resultados nadie tiene en mente mientras vota.

Método tres: “repartamos puntos”

Último intento, el más elegante: en vez de eliminar, asignemos puntuaciones. Cada persona ordena los sitios y se reparten puntos — con tres opciones, 2 puntos al primero, 1 al segundo, 0 al tercero. Se suman y gana quien tenga el total más alto. Se llama recuento Borda, y premia a quien gusta un poco a todos en lugar de a quien gusta muchísimo a unos pocos. Parece el más justo de los tres.

Esquema del método Borda: cuatro clasificaciones individuales con seis opciones cada una confluyen en un único cálculo que suma las puntuaciones de posición y produce una clasificación final reordenada

El esquema de arriba muestra el mecanismo en su forma general: a la izquierda, las clasificaciones de cuatro personas distintas, cada una con su orden; en el centro, la suma de los puntos que cada opción acumula según la posición que ocupa en cada clasificación; abajo, el resultado final, una única lista que ninguno de los cuatro tenía en la cabeza. Es exactamente la operación que llamamos “voluntad colectiva”: una clasificación que no pertenece a nadie, producida sumando las de todos.

Tiene un defecto que hunde sus cimientos, y se entiende mejor con el ejemplo de la cena. El grupo está eligiendo entre la pizzería y el japonés, y la pizzería va por delante. En ese momento el camarero recuerda que también está el pastel de carne de la casa. Nadie, ni por error, pedirá jamás el pastel de carne: todos lo ponen último. Y sin embargo, como ahora las opciones son tres y los puntos se redistribuyen, el total puede darse la vuelta y hacer ganar al japonés.

Vuelve a leer esto también, porque es el corazón del asunto: añadir una opción que nadie quiere ha cambiado la elección entre las dos que todos querían. Es como si el hecho de que en el cine también proyecten una película que jamás verías te hiciera cambiar de idea sobre cuál de las otras dos ver. No tiene sentido, y sin embargo el método lo permite.

Y abre una puerta peligrosa: quien decide qué opciones acaban en la lista puede orientar el resultado sin tocar un solo voto. En política, esto significa que el poder de candidatar vale tanto como el poder de votar — a veces más.

El giro: no es culpa de los métodos

Llegados aquí la reacción natural es: vale, hemos elegido tres sistemas mediocres. Tarde o temprano alguien inventará uno justo.

En 1951 un joven economista estadounidense, Kenneth Arrow, cerró esa esperanza para siempre. Y su punto de partida no era el voto: era precisamente la pregunta de la que hemos partido nosotros, es decir, si es posible definir de manera sensata el bien de una colectividad a partir del de los individuos.

Arrow hizo algo astuto. En vez de probar métodos uno a uno, se preguntó: ¿cuáles son las exigencias mínimas que le haríamos a cualquier método para considerarlo aceptable? Y enumeró cuatro, tan razonables que nadie las discutiría:

Primero, debe funcionar siempre, prefiera la gente lo que prefiera: no puedes prohibir ciertas opiniones para que salgan las cuentas. Segundo, si absolutamente todos prefieren A a B, el resultado colectivo debe preferir A a B — lo mínimo exigible. Tercero, la elección del grupo entre dos opciones no debe depender de una tercera que no viene al caso (el pastel de carne, precisamente). Cuarto, no debe existir una sola persona cuya preferencia se convierta automáticamente en la de todos, ignorando a los demás: de lo contrario estamos hablando de un dictador, no de un método.

Cuatro exigencias honestísimas. Arrow demostró que, cuando hay al menos tres opciones en juego, ningún método puede satisfacerlas todas a la vez. No “ninguno de los inventados hasta ahora”: ninguno posible, hoy y dentro de mil años. La única forma de respetar las tres primeras es violar la cuarta — es decir, hacer coincidir el bien de todos con la voluntad de uno solo.

No estamos buscando mal. Estamos buscando un triángulo con cuatro lados.

Y además, seamos sinceros, todos mentimos

Queda una última capa, y quizá sea la más humana. Hasta aquí hemos dado por sentado que cada uno declara sinceramente lo que prefiere. Pero no lo hacemos. El voto útil del que hablábamos antes es exactamente esto: declaramos una preferencia que no es la nuestra, porque conviene.

En los años setenta dos estudiosos, Gibbard y Satterthwaite, demostraron que esto no es un defecto nacional ni una debilidad moral: cualquier método razonable, con al menos tres opciones, puede ser manipulado. Siempre existe una situación en la que mentir sobre tus preferencias te da un resultado mejor que decir la verdad.

Juntemos las piezas, porque el cuadro final es despiadado. Por un lado tenemos una regla de recuento que, por demostración matemática, deforma las preferencias. Por otro tenemos unos datos de entrada que, por conveniencia racional, son en parte falsos. Tomamos números falseados, los pasamos por un método infiel, y al número que sale le damos un nombre solemne: la voluntad del pueblo.

Qué podemos concluir (y qué no)

Aquí hace falta honestidad, porque el rigor es todo el valor de este razonamiento. Nada de lo que hemos visto demuestra que la democracia sea inútil, y mucho menos que un hombre solo al mando decida mejor. Al contrario: la única escapatoria matemática al teorema de Arrow es precisamente la dictadura, y quien la haya vivido sabe que el remedio es infinitamente peor que la enfermedad. El voto sigue siendo el modo menos malo que hemos encontrado para tomar decisiones juntos sin dispararnos.

Lo que estos resultados nos quitan no es la democracia. Es una frase.

La frase es: “esto es lo que quiere el pueblo, este es su bien”. Tomada al pie de la letra, no se sostiene. Ahí fuera no hay un pueblo con una sola cabeza, gustos coherentes y un bien definido, esperando a que alguien lo descubra. Hay millones de personas con fines distintos y a menudo incompatibles — esos sí son reales — y hay un procedimiento de recuento que elegimos nosotros, que produce un resultado. Cambia el procedimiento, con las mismas personas y los mismos deseos, y cambia lo que se proclama “mejor para todos”. El resultado no es una fotografía: es en parte un producto del instrumento con el que la hemos hecho.

Y es aquí donde el análisis frío se encuentra con una sospecha muy antigua, querida por quien desconfía de las abstracciones colectivas: el bien lo tienen las personas, no los pueblos. “El interés nacional”, “lo que el país pide”, “el bien común” son atajos retóricos, no objetos que existan. Y cada vez que alguien los pronuncia está haciendo un pequeño juego de manos: coge la suma desordenada de millones de deseos distintos, la transforma en una entidad imaginaria dotada de voz, y luego se nombra intérprete oficial de esa voz. El teorema de Arrow no hace más que levantar el paño y mostrar que en la chistera no hay ningún conejo.

Lo cual, si lo piensas, es una defensa del individuo antes que una crítica al sistema. Porque la fórmula “lo hago por tu bien, es el bien de todos” es históricamente la ganzúa con la que se ha justificado cualquier imposición. Saber que ese “bien de todos” no es un objeto medible sino un artefacto de procedimiento es un excelente anticuerpo. No es casualidad que funcionen bien, y estén ganando confianza, los sistemas que no pretenden en absoluto calcular el bien colectivo: se limitan a fijar reglas claras y verificables, a las que cada uno decide si adherirse por su cuenta, sin que nadie hable en nombre de todos. No son perfectos. Solo son honestos sobre lo que son: procedimientos, no oráculos.

Conclusión

El teorema de Arrow no es un panfleto contra la democracia. Es algo más incómodo: una demostración. Nos dice que la frase más usada de nuestro discurso público — “esto es el bien del pueblo” — no tiene nada detrás, y no por un defecto que podamos corregir con una reforma electoral, sino por un límite de la lógica misma.

Quedan los bienes de las personas concretas, que existen y cuentan. Queda el procedimiento con el que decidimos, que es útil y que elegimos nosotros. En medio, donde nos enseñaron a imaginar una voluntad colectiva a la que escuchar, no hay nada: solo un número, producido por un método, vestido de mandato. La próxima vez que alguien gane y declare representar lo que todos queríamos, tendrás las herramientas para saber exactamente qué está haciendo. Existen las personas, y sus bienes. El pueblo, como sujeto que quiere y al que algo beneficia, no.

Fuentes: